Политика   |   Экономика   |   В мире   |   Происшествия   |   Природа   |   Социум   |   Онлайн

Рациональные числа: свойства, определение, операции с ними

Понятие о числах относится к абстракциям, характеризующим объект с количественной точки зрения. Еще в первобытном обществе у людей возникла потребность в счете предметов, поэтому появились численные обозначения. В дальнейшем они стали основой математики как науки.

Чтобы оперировать математическими понятиями, необходимо, прежде всего, представлять, какие же бывают числа. Основных видов чисел несколько. Это:

1. Натуральные – те, которые мы получаем при нумерации предметов (их естественном счете). Их множество обозначают латинской буквой N.

2. Целые (их множество обозначается буквой Z). Сюда относятся натуральные, противоположные им целые отрицательные числа и нуль.

3. Рациональные числа (буква Q). Это те, которые возможно представить в виде дроби, числитель которой равняется целому числу, а знаменатель – натуральному. Все целые и натуральные числа относятся к рациональным.

4. Действительные (их обозначают буквой R). Они включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональными называются числа, полученные из рациональных путем различных операций (вычисление логарифма, извлечение корня), сами не являющиеся рациональными.

Таким образом, любое из перечисленных множеств является подмножеством ниже перечисленного. Иллюстрацией данного тезиса служит диаграмма в виде т.н. кругов Эйлера. Рисунок представляет собой несколько концентрических овалов, каждый из которых расположен внутри другого. Внутренний, самый малый по размеру овал (область) обозначает множество натуральных чисел. Его полностью охватывает и включает в себя область, символизирующая множество целых чисел, которая, в свою очередь, заключена внутри области рациональных чисел. Внешний, самый большой овал, включающий в себя все остальные, обозначает массив действительных чисел.

В данной статье мы рассмотрим множество рациональных чисел, их свойства и особенности. Как уже упоминалось, к ним принадлежат все существующие числа (положительные, а также отрицательные и нуль). Рациональные числа составляют бесконечный ряд, имеющий следующие свойства:

– данное множество упорядочено, то есть, взяв любую пару чисел из этого ряда, мы всегда можем узнать, какое из них больше;

– взяв любую пару таких чисел, мы всегда можем поместить между ними как минимум еще одно, а, следовательно, и целый ряд таковых – таким образом, рациональные числа представляют собой бесконечный ряд;

– все четыре арифметических действия над такими числами возможны, результатом их всегда является определенное число (также рациональное); исключение составляет деление на 0 (нуль) – оно невозможно;

– любые рациональные числа могут быть представлены в виде десятичных дробей. Эти дроби могут быть либо конечными, либо бесконечными периодическими.

Чтобы сравнить два числа, относящихся к множеству рациональных, необходимо помнить:

– любое положительное число больше нуля;

– любое отрицательное число всегда меньше нуля;

– при сравнении двух отрицательных рациональных чисел больше то из них, чья абсолютная величина (модуль) меньше.

Как производятся действия с рациональными числами?

Чтобы сложить два таких числа, имеющих одинаковый знак, нужно сложить их абсолютные величины и поставить перед суммой общий знак. Для сложения чисел с разными знаками следует из большего значения вычесть меньшее и поставить знак того из них, чье абсолютное значение больше.

Для вычитания одного рационального числа из другого достаточно к первому числу прибавить противоположное второму. Для умножения двух чисел нужно перемножить значения их абсолютных величин. Полученный результат будет положительным, если сомножители имеют один и тот же знак, и отрицательным, если разные.

Деление производится аналогично, то есть находится частное абсолютных величин, а перед результатом ставится знак «+» в случае совпадения знаков делимого и делителя и знак «–» в случае их несовпадения.

Степени рациональных чисел выглядят как произведения нескольких сомножителей, равных между собой.